Geometría

Parábola

Si das una patada a una pelota de fútbol (o disparas una flecha o un misil, o tiras una piedra) seguirá un arco en el aire y caerá de vuelta... ... ¡siguiendo una parábola! (Excepto por el efecto del aire.)

Definición Una parábola es una curva en la que los puntos están ala misma distancia de: un punto fijo (el foco), y una línea fija (la directriz)

En una hoja de papel, dibuja una línea recta, y marca un punto gordo para el foco (¡que no esté en la línea!).

Ahora juega un poco midiendo con una regla hasta que encuentres un punto que esté a la misma distancia del foco y de la línea.

Repite hasta que tengas muchos puntos, uniéndolos tendrás una parábola.

Nombres Estos son los nombres más importantes: la directriz y el foco (están explicados arriba) el eje de simetría (pasa por el foco, perpendicular a la directriz) el vértice (donde la parábola hace el giro más fuerte) está a medio camino entre el foco y la directriz.

Reflector Y la parábola tiene la siguiente propiedad sorprendente: Un rayo paralelo al eje de simetría se refleja en la superficie directamente hacia el foco. Así las parábolas se pueden usar para: antenas (antena parabólica), radares, concentrar los rayos solares para calentar un punto, los espejos dentro de focos y linternas etc

Y por eso el punto central se llama foco... ¡porque ahí es donde se enfocan todos los rayos!

También sale una parábola cuando seccionas un cono (el corte tiene que ser paralelo al lado del cono). Por tanto, la parábola es una sección cónica (una sección de un cono).

Ecuaciones Si pones la parábola en coordenadas cartesianas (gráfico x-y) con: el vértice en el origen "O" y el eje de simetría en el eje x, entonces la curva queda definida por la ecuación: y2 = 4ax

Ejemplo: ¿dónde está el foco de la ecuación y²=5x ?

Si ponemos y² = 5x en la forma y² = 4ax, tenemos que y² = 4 (5/4) x,

así que a = 5/4, y el foco de y²=5x es:

F = (a,0) = (5/4,0)

Las ecuaciones de las parábolas en las distintas orientaciones son:

y2 = 4ax	y2 = -4ax	x2 = 4ay	x2 = -4ay

Medidas para una antena parabólica

Si quieres construir una antena parabólica que tenga el foco 200 mm sobre la superficie, ¿qué medidas necesitas?

Para que sea fácil de hacer, digamos que apunte hacia arriba, y así tenemos la ecuación x² = 4ay.

Y queremos que "a" sea 200, así que la ecuación queda:

x² = 4ay = 4 × 200 × y = 800y

Lo reescribimos para poder calcular las alturas:

y = x²/800

Aquí tienes algunas medidas de alturas que van saliendo:

	Distancia horizontal ("x")	Altura ("y")
	0 mm	0.0 mm
	100 mm	12.5 mm
	200 mm	50.0 mm
	300 mm	112.5 mm
	400 mm	200.0 mm
	500 mm	312.5 mm
	600 mm	450.0 mm

Elipse

Una elipse es una circunferencia aplastada.

Una circunferencia tiene un centro, pero una elipse tiene dos focos ("A" y "B" abajo).

Definición Una elipse es el conjunto de todos los puntos de un plano cuya suma de distancias a dos puntos fijos es una constante. Así que, no importa dónde estés en la elipse, puedes sumar las distancias al punto "A" y al punto "B" y siempre saldrá lo mismo. (Los puntos "A" y "B" se llaman los focos de la elipse)

Dibújala

Clava dos clavos en un tablero, pon un lazo de cuerda alrededor de ellos, y pon un lápiz en el lazo. Tensa la cuerda para que forme un triángulo, y sigue la línea... habrás dibujado una elipse.

Una circunferencia es una elipse

En realidad una circunferencia es una elipse, donde los dos focos son el mismo punto (el centro). O sea, una circunferencia es un "caso especial" de elipse.

Sección de un cono También sale una elipse cuando cortas un cono (con un ángulo pequeño). Por tanto, la elipse es una sección cónica (una sección de un cono).

Calculando

Área El área de una elipse es π × r × s (Si es una circunferencia, r y s son iguales, y sale π × r × r = πr2, ¡que es correcto!)

Aproximación al perímetro

Aunque parezca extraño, el perímetro de una elipse es muy difícil de calcular, así que he creado una página especial para ese tema: lee Perímetro de una elipse para ver los detalles.

Pero una aproximación sencilla que está a menos de 5% del valor correcto (siempre que r no sea más de 3 veces s) es la siguiente: